Фрактальные антенны

Вполне ес­тественно, что фрактальная “мода” не обошла сто­роной и теорию антенн. Тем более, что прообра­зом современных фрактальных технологий в ан­тенной технике явились предложенные в середи­не 60-х годов прошлого века логопериодические и спиральные конструкции. Правда, в строгом ма­тематическом смысле такие конструкции на мо­мент разработки не имели отношения к фракталь­ной геометрии, являясь, по сути, лишь фракталами первого рода. Сейчас исследователи, в основ­ном методом проб и ошибок, пытаются использо­вать известные в геометрии фракталы в антенных решениях.

В результате имитационного моделиро­вания и экспериментов установлено, что фракталь­ные антенны позволяют получить практически тот же коэффициент усиления, что и обычные, но при меньших габаритах, что важно для мобильных при­ложений. Рассмотрим результаты, полученные в области создания фрактальных антенн самых различных типов.

Первые публикации по электродинамике фрактальных струк­тур относятся к 80-м годам прошлого века. В публика­циях по истории фрактальных антенн обычно упоминает­ся работа ученых Университета штата Пенсильвания Я.Кима и Д.Джаггарда (Y.Kim and D.L.Jaggard) . Первенство в те­оретических исследованиях возможности применения фрак­тальных форм для формирования многополосных по часто­те антенн приписывают ученому Технологического универси­тета Каталонии К.Пуенте (C.Puente).

Начало же практи­ческому применению фрактальных антенн в 1995 году поло­жил, как принято считать, американский инженер Натан Коэн (N.Cohen) . Чтобы обойти запрет бостонских властей уста­навливать на домах наружные антенны, он замаскировал ан­тенну своей радиостанции под декоративную фигуру, выпол­ненную на основе фрактальной ломаной, описанной шведс­ким математиком Хельге фон Кохом (Helge von Koch) в 1904 году.

Опубликованные Коэном результаты исследований харак­теристик новой антенной конструкции  привлекли внима­ние специалистов. Благодаря усилиям многих исследовате­лей сегодня теория фрактальных антенн превратилась в са­мостоятельный, довольно развитый аппарат синтеза и ана­лиза ЭМА.

ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВО КРИВЫЕ.

Первой конструкцией фрактальной антенны с наиболее полно изученными электромагнитными и направленными свойствами стала антенна на основе префрактальной кривой Коха. При построении линии Коха исходный отрезок длиной z, именуемый инициатором фрактала, делится на три равные части. Центральный участок заменяют равносторонним треу­гольником со стороной z/3. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длиной z/3 каждый (рис.1). Этот процесс повторяется для каждого отдельного сегмента ломаной линии: во второй итерации на отрезках z/3 строят­ся треугольники со сторонами z/9, на них – треугольники со сторонами z/27 (третья итерация) и т.д. Предельная кривая и

есть кривая Коха. Каждый шаг синтеза увеличивает длину ре­зультирующей кривойвоответствии  выражением :

где n – число итераций, z – высота образующего шаблона (длина исходного отрезка).

Этот эффект миниатюризации антенн является существен­ным лишь при пяти-шести первых итерациях фрактала.

Строго говоря, в антенных решениях используются не под­линные фракталы, а лишь несколько первых их итерационных форм, получивших в геометрии название кривых, заполняю­щих пространство (Space-Filling Curves, SFC) или плос­кость (Plane-Filling Curves, PFC). Реже используется тер­мин “префракталы”. Все эти понятия применительно к антен­ным конструкциям могут употребляться как синонимы. Такова исторически сложившаяся терминология теории фракталь­ных антенн, хотя она и не соответствует принятым математи­ческим определениям.

SFC могут применяться в качестве шаблонов для изготов­ления монополей и плеч диполей, формирования топологии печатных антенн, частотно-селективных поверхностей (Fre­quency Selection Surfaces, FSS) или обечаек зеркальных реф­лекторов, построения контуров рамочных антенн и профилей апертуры рупоров, а также фрезеровки пазов в щелевых ан­теннах. В англоязычной литературе соответствующие антен­ны нередко называют “space-filling antenna” (SFA) (антенны, заполняющие пространство).

В случае проволочных антенн самопересечение SFC до­пускается только в начальном (или конечном) пункте. Ина­че говоря, фрактальная линия может иметь вид замкнуто­го контура, но ни одна из ее частей не может быть замкну­тым фрагментом. Отсутствие точек самоконтакта в SFC-объ­ектах позволяет говорить о них как о “самоизбегающих” кри­вых . Отсюда, кстати, происходит еще одно название этих ломаных линий – FASS-кривые (space-Filling self-Avoidance Simplicity Similarity – самоуклоняющиеся кривые подобных сегментов, заполняющих пространство) .

Существует и другое ограничение всех типов фрактальных антенн : сегменты используемых в них SFC-линий долж­ны быть короче одной десятой рабочей длины волны антен­ны в свободном пространстве. При этом желательно, чтобы общее число связанных SFC-сегментов в антенных топологи­ях превышало 10.

Экспериментальные данные, полученные специалистами компании Cushcraft для кривой Коха,

четырех итераций ме­андра и спиральной антенны, позволяют сопоставить элек­трические свойства антенны Коха с другими излучателями с периодической структурой. Все сопоставленные излуча­тели обладали многочастотными свойствами, что проявилось в наличии периодических резонансов на графиках импедан- сов. Однако для многодиапазонных приложений более всего пригоден фрактал Коха, у которого с ростом частоты пиковые значения реактивных и активных сопротивлений уменьшают­ся, тогда как у меандра и спирали они возрастают.

В целом следует отметить, что теоретически представить механизм взаимодействия фрактальной приемной антен­ны и падающих на нее электромагнитных волн сложно из-за отсутствия аналитического описания волновых процессов в проводнике со сложной топологией. В такой ситуации основ­ные параметры фрактальных антенн целесообразно опреде­лять путем математического моделирования. Численному ис­следованию электромагнитных процессов, протекающих во фрактальных антеннах и при их взаимодействии с предме­тами окружающей среды, посвящено достаточно много ра­бот. Их подробный обзор и анализ выходит за рамки данной статьи. Общий недостаток всех известных публикаций по ре­зультатам исследований фрактальных антенн – отсутствие указаний на статистическую обработку результатов экспери­ментов. В частности, в них не приводятся сведения о довери­тельных интервалах для измеренных параметров, что не поз­воляет судить о точности полученных в итоге эмпирических соотношений. В целом же, статистическая теория фракталь­ных антенн при расчете их численными методами пока еще ждет своих разработчиков.

Пример построения первой самоподобной фрактальной кривой продемонстрировал в 1890 году итальянский мате­матик Джузеппе Пеано (Peano) .

Предложенная им линия в пределе полностью заполняет квадрат, обегая все его точки (рис.2). В дальнейшем были найдены и другие по­добные объекты, получившие по имени первооткрывателя их семейства обобщающее название “кривые Пеано”. Прав­да, вследствие чисто аналитического описания кривой, пред­ложенного Пеано, возникла некоторая путаница в клас­сификации SFC-линий. На самом деле наименование “кри­вые Пеано” следовало бы давать лишь оригинальным кри­вым, построение которых соответствует аналитике, опуб­ликованной Пеано.

Поэтому для конкретизации рассматриваемых объектов антенной техники при описании той или иной формы фрактальной антенны следует, по воз­можности, упоминать и имена авторов, предложивших соот­ветствующую модификацию SFC. Это тем более важно, что согласно подсчетам, число известных разновидностей SFC приближается к трем сотням, причем эта цифра не яв­ляется предельной.

Итерации ломаной, предложенной Гильбертом в 1891 году. Нередко трактуется как рекурсивная кривая пеано рассматриваемых объектов антенной техники при описании той или иной формы фрактальной антенны следует, по воз­можности, упоминать и имена авторов, предложивших соот­ветствующую модификацию SFC. Это тем более важно, что согласно подсчетам , число известных разновидностей SFC приближается к трем сотням, причем эта цифра не яв­ляется предельной.

Следует отметить, что кривая Пеано в исходном виде вполне пригодна для изготовления щелей в стенках вол­новода, печатных и других апертурных фрактальных антенн, но не приемлема для построения проволочной антенны, пос­кольку имеет соприкасающиеся участки. Поэтому специалис­тами компании Fractus была предложена ее модификация, получившая название “Peanodec”.

Представленная на антенна по фракталу Коха – лишь один из вариантов, реализуемый при использовании равно­стороннего инициирующего треугольника рекурсии, т.е. угол 0  при его основании (indentation angle или “угол углубления”) равен 60°. Такой вариант фрактала Коха принято называть стандартным. Вполне естественно задаться вопросом, можно ли использовать модификации фрактала с иными значениями этого угла. Утвердительный и обстоятельный ответ на данный вопрос содержится в работе ученого Пенсильванского уни­верситета К.Дж.Виной (K.J.Vinoy). Виной предложил рас­сматривать угол при основании инициирующего треугольника в качестве параметра, характеризующего антенную конструк­цию. Изменяя этот угол, можно получать аналогичные рекур­сивные кривые разной размерности. Кривые сохраня­ют свойство самоподобия, однако результирующая длина ли­нии может быть различной, что влияет на характеристики ан­тенны. Виной первым исследовал корреляцию между свойс­твами антенны и размерностью обобщенного фрактала Коха D, определяемой в общем случае зависимостью

Было показано, что по мере увеличения угла 0 размер­ность фрактала также увеличивается, и при 0^90° прибли­жается к 2. Следует отметить, что используемое в теории фрактальных антенн понятие размерности несколько проти­воречит понятиям, принятым в геометрии, где эта мера при­менима только к бесконечно рекурсивным объектам.

рис.5. построение кривой Коха с углом 0 а) 30° и б) 70° при основа­нии треугольника в генераторе фрактала. С увеличением размерности нелинейно возрастает и общая длина ломаной линии, определяемая соотношением

где L₀– длина линейного диполя, расстояние между конца­ми которого то же, что и у ломаной Коха, n – номер итера­ции. Переход от 0 = 60° к 0 = 80° на шестой итерации поз­воляет увеличить общую длину префрактала более чем в че­тыре раза.

Как и следовало ожидать, между рекурсивной размернос­тью и такими свойствами антенны, как первичная резонанс­ная частота, внутреннее сопротивление на резонансе и многодиапазонные характеристики, существует прямая связь. На основе компьютерных расчетов Виной  получил зависи­мость первой резонансной частоты диполя Коха f_k от размер­ности префрактала D, номера итерации n и резонансной час­тоты прямолинейного диполя f_D той же высоты, что и ломаная Коха (по крайним точкам):

При расчетах он использовал модель диполя с радиу­сом проводника 0,1 мм, сегментированного на прямолиней­ные отрезки длиной 0,5 мм. Общая высота диполя (интервал между его концами) была равна 10 см. Из расчетов Виной следует, что для реализуемых на практике рассмотренных параметров диполя Коха резонансную частоту можно сни­зить до 30% от значения резонансной частоты 10-см прямо­линейного диполя .

Несмотря на огромную работу, проделанную Виной, оста­ется неясным, сохранится ли в силе зависимость (3) при дру­гих значениях диаметра проводника. Во всяком случае, Ви­ной утверждает, что нормирование резонансной частоты ди­поля Коха относительно частоты прямолинейного диполя поз­воляет нивелировать влияние радиуса проводника, которое, как он надеется, одинаково для обоих диполей. Однако не исключено, что при итерациях большего порядка из-за вза­имного влияния близко расположенных сегментов фракта­ла могут возникнуть паразитные электродинамические эф­фекты, сужающие область применения выражения (3). Это подтверждает и работа ученых Политехнического универси­тета Каталонии , которые объяснили замедление эффек­та снижения резонансной частоты с увеличением числа ите­раций префрактала “просачиванием” электромагнитных волн между близко расположенными изломами линии. По их ги­потезе, поверхностная волна сегментов префрактала, раз­меры которых много меньше длины волны, “отрывается” от конфигурации проводника антенны (рис.6) и достигает точ­ки подключения фидера быстрее, чем если бы она распро­странялась, строго следуя геометрии электропроводного ма­териала.

Одна из серьезных проблем, ограничивающая практичес­кое использование стандартного диполя Коха, – уменьшение его внутреннего сопротивления с увеличением числа итера­ций. Согласно Виной, этот недостаток можно преодолеть,варьируя значение угла 0. В общем случае для внутренне­го сопротивления диполя Коха на первой резонансной час­тоте справедливо приближенное соотношение, приведен­ное в:

где R₀ – внутреннее сопротивление линейного диполя (D=1), которое в рассматриваемом случае равно 72 Ом.

Выражения (3) и (4) можно использовать для определения геометрических параметров антенны с требуемыми значени­ями резонансной частоты и внутреннего сопротивления.

Многополосные свойства диполя Коха также весьма чувс­твительны к значению угла 0. С увеличением 0 номиналы ре­зонансных частот сближаются, а, следовательно, растет их число в заданном спектральном диапазоне (рис.7). При этом, чем выше номер итерации, тем сильнее это сближение.

В Университете штата Пенсильвания был исследован еще один важный аспект диполя Коха – влияние несимметрич­ности его запитки на степень приближения внутреннего со­противления антенны к 50 Ом . В линейных диполях точ­ка питания часто располагается асимметрично . Этот же подход может быть использован и для фрактальной антен­ны в виде кривой Коха, внутреннее сопротивление которой меньше нормативных значений. Так, в третьей итерации внут­реннее сопротивление стандартного диполя Коха (0 = 60°) без учета потерь при подключении фидера в центре состав­ляет 28 Ом. При перемещении фидера к одному из концов антенны можно получить сопротивление 50 Ом.

Все рассмотренные до сих пор конфигурации ломаной Коха синтезировались рекурсивно. Однако, согласно Ви­ной, если подобия целесообразно выбрать регулярную схему измене­ния угла 0. Например, изменять его по линейному закону 0_п = 0_п_1 – А0-п, где п – номер итерации, Д0 – приращение угла в основании треугольника. Вариантом такого принципа пост­роения ломаной является следующая последовательность уг­лов: 0₁ = 20° для первой итерации, 0₂ = 10° для второй и т.д. Конфигурация вибратора в этом случае не будет строго ре­курсивной, однако все его сегменты, синтезированные в од­ной итерации, будут иметь одинаковые размеры и форму. По­этому геометрия такой гибридной ломаной воспринимается как самоподобная. При малом числе итераций наряду с отри­цательным приращением А0 может применяться квадратич­ное либо иное нелинейное изменение угла 0_п.

Рассмотренный подход позволяет задавать распределе­ние резонансных частот антенны и значения ее внутренне­го сопротивления. Однако перестановка порядка изменения значений углов 0 в итерациях не дает эквивалентного резуль­тата. Как отмечено в работах, для одной и той же вы­соты ломаной линии различные комбинации одинаковых уг­лов, к примеру 0₁ = 20°, 0₂ = 60° и 0₁= 60°, 0₂ = 20° (рис.8), дают одинаковую развернутую длину префракталов. Но, про­тив ожидания, полное совпадение параметров не обеспечи­вает тождества резонансных частот и идентичность многопо­лосных свойств антенн. Причина – изменение внутреннего сопротивления сегментов ломаной, т.е. ключевую роль игра­ет конфигурация проводника, а не его размеры.

Перспективное применение антенн с топологией Коха – MIMO-системы связи (системы связи со многими входами и выходами). Для миниатюризации антенных решеток абонент­ских терминалов в таких средствах коммуникации специа­листы Лаборатории электромагнетизма Университета Патра- са (Греция)  предложили фрактальное подобие перевер­нутой L-антенны (ILA). Суть идеи сводится к изгибу вибрато­ра Коха на 90° в точке, делящей его на сегменты с соотноше­нием длин 2:1. Для мобильных средств связи с частотой несущей ~2,4 Гц габариты такой антенны в печатном исполне­нии составляют 12,33×10,16 мм (~А,/10 хА/12), полоса пропус­кания – ~20% и КПД – 93%

[tooltip tip=”Диаграмма направленности — вектор взаимодействия в зависимости от ориентации антенны (объектов) в пространстве.”]Диаграмма направленности[/tooltip] по азимуту почти равномерна, коэффициент усиления в пе­ресчете ко входу фидера составляет ~3,4 дБ. Правда, как от­мечено в статье, работа таких печатных элементов в со­ставе решетки (рис.9)сопровождается снижением их КПД по сравнению с единичным элементом.

Так, на частоте 2,4 ГГц КПД согнутого на 90° монополя Коха снижается с 93 до 72%, а на частоте 5,2 ГГц – с 90 до 80%. Несколько лучше обстоит дело с взаимным влиянием антенн высокочастотной полосы: на частоте 5,25 ГГц развязка между элементами, об­разующими центральную пару антенн, составляет 10 дБ. Что касается взаимного влияния в паре соседних разнодиапа­зонных элементов, то в зависимости от частоты сигнала раз­вязка изменяется от 11 дБ (на 2,45 ГГц) до 15 дБ (на часто­те 5,25 ГГц). Причина ухудшения эффективности работы ан­тенн – взаимное влияние печатных элементов.

Таким образом, возможность выбора множества разно­образных параметров антенной системы на основе лома­ной Коха позволяет при проектировании удовлетворять раз­личные требования, предъявляемые к значению внутренне­го сопротивления и распределению резонансных частот. Од­нако, поскольку взаимозависимость рекурсивной размернос­ти и характеристик антенны может быть получена только для определенной геометрии, справедливость рассмотренных свойств для других рекурсивных конфигураций нуждается в дополнительном исследовании.

Источник:http://www.electronics.ru/files/article_pdf/0/article_593_229.pdf